Senin, 24 Desember 2012

Matematika Diskrit_BAB I STRUKTUR ALJABAR (subgroup siklik, normal)



1.3.5. SUBGROUP SIKLIK

            Misalkan (G,*) sebuah group dengan elemen identitas e Î G. Jika a Î G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh  a  adalah himpunan
                                           gp(a)   = { ... , a-2 , a-1 , a0 , a1 , a2 , ... }
                                                      = { an | n Î Z }.
Dimana a0 = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, a* a= am+n untuk m,nÎZ. Sebagai contoh,  a* a2 = a6 ,  a1 * a1 = a2 .
            Untuk  n Ï Z+ , an dapat dicari dengan mengingat bahwa a0 = e dan hukum eksponen a0 = a* a-1.  Berdasarkan kedua hal tersebut, maka  a-1 adalah  invers dari  a  untuk operasi * dan  a-2 , a-3 dan seterusnya dapat dicari.
Order dari subgroup siklik gp(a) = { an | n Î Z } adalah integer positif  m  terkecil sedemikian hingga  am = e.
Contoh 1.13.
Perhatikan group (Z4, Å) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh  2 Î Z4 adalah gp(2) = { 2n | n Î Z } = {0, 2}.  Order dari gp(2) tersebut adalah 2.
            Jika terdapat  x Î G sedemikian hingga  gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan  elemen  x  tersebut dinamakan generator dari G.
Contoh 1.14.
Perhatikan group (Z4,Å) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh  1 Î Z4adalah gp(1) = { 1n | n Î Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z4, maka (Z4,Å) merupakan group siklik dan 1 merupakan generator.

1.3.6. SUBGROUP NORMAL

Misalkan (G,*) sebuah group dan (H,*) merupakan subgroup dari group (G,*). Koset kiri dari H adalah himpunan  a*H = { a * h |  " h Î H } dan koset kanan dari H adalah    H*a = { h * a |  " h Î H }, untuk setiap a Î G.
Contoh 1.15.
(Z4 , Å)  adalah group dan B = {0 , 2} adalah subgroup dari  (Z4 , Å).  Koset kiri dari  B  adalah  a Å B untuk setiap  a Î Z4   :   0 Å B = {0 , 2} , 1 Å B = {1 , 3} , 2 Å B = {0 , 2} , dan 3 Å B = {1 , 3}. Jadi, koset kiri dari B adalah {0,2} dan {1,3}. Koset kanan dari  B  adalah  B Å a untuk setiap a Î Z4  : B Å 0 = {0 , 2}, B Å 1 = {1 , 3} , B Å 2 = {0 , 2} , dan B Å 3 = {1 , 3}. Jadi, koset kanan dari B adalah {0,2} dan {1,3}
Suatu subgroup (H,*) dari group (G,*) merupakan subgroup normal jika untuk setiap  a Î G berlaku  a*H = H*a   (koset kiri H = koset kanan H, untuk setiap anggota G).
Contoh 1.16.
B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4 , Å) adalah subgroup normal dari (Z4 , Å), karena untuk setiap  a Î Z4 ,  a Å B = B Å a.
Himpunan koset dari subgroup normal H pada group (G, *) membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.
Contoh 1.17.
Koset dari B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4,Å) adalah {0 , 2} dan {1 , 3}. Himpunan {{0 , 2}, {1 , 3}} membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.
Ä{0 , 2}{1 , 3}
{0 , 2}{0 , 2}{1 , 3}
{1 , 3}{1 , 3}{0 , 2}
Soal Latihan 1.3. 
  1. Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh  3 dari group (Z,+).
  2. Operasi biner Ä  dari group (V, Ä) didefinisikan dalam bentuk tabel berikut.
Äeabc
eeabc
aabce
bbcea
cceab
  • Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh setiap anggota V dan tentukan ordernya.
  • Apakah V merupakan group siklik ? Jelaskan !
3.    Himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat Z. Diketahui bahwa (Z,+) adalah sebuah group abel. Selidiki apakah himpunan bilangan kelipatan 3 merupakan subgroup normal dari group (Z,+).  Jika ya, tentukan koset kiri dari himpunan tersebut.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar